労働基準法第24条「賃金全額払いの原則」に基づいて、基本的には労働時間・賃金は1分体位で計算しないといけません。
15分単位の計算も可能ですが、その場合は15分未満の端数を切り捨ててはいけません。7分の場合は15分、17分の場合は30分、37分の場合は45分に退勤といように繰り下げて計算しないと労基法24条の違反に該当してきます。
また、タイムカードを勝手に書き換えること自体、労働基準法第109条（記録の保存）違反です。10時15分上がりを１０時00分上がりにして、残業代の支払いを逃れようとしているのであれば完全にアウトです。
給与の支払いについても、定められた支払日から１日たりとも遅れてはなりません。これも労基法24条に定められています。例えば毎月10日払いなら、10日に必ず支払わなくてはなりません。遅れた場合は、遅延損害金（年利3％）のペナルティーが加算されます。
また、給与支払い日には給与明細書を必ず発行する義務があります。こちらは所得税法231条に定められています。頼んでも発行してもらえない場合は、管轄する税務署にて「給与支払明細書不交付の届出書」を提出するなどの手続きが出来ます。申請が受理されれば、税務署から指導が入ります。
支払い給与額については、まず給与明細書が必要です。給与明細書も記載しなければならない必須事項は、労基法の通達で定められてあります。
１．基本給、手当その他賃金の種類ごとにその金額
２．源泉徴収税額、労働者が負担すべき社会保険料額等賃金から控除した金額
３．口座振込み等を行った金額
この給与明細を基に、月45,000の給与から何がどれほど天引きされているのか、確認してみて下さい。同じ45,000円の給与でも基本給や手当、そこから差し引かれる所得税・住民税、加入していれば差し引かれる社会保険料控除（健康保険・年金保険・失業保険）など、人によって構成内容が違いますので手取り額が変わります。
一概には言えませんが、仮に月45,000円の給与（内訳考えず）から、単純に所得税・住民税・社会保険料控除（健康保険・年金保険・失業保険）を全て差し引いたとしたら、手取りは36,500円程になると思います。どちらにせよ給与明細書が無い限りは、手取り額が合っているのかどうか分かりません。
労基署については、書き換えられたタイムカードのコピー（スマホの写真でも可）と、その月のシフト表を持っていけば、それなりに相談にのってくれると思います。給与明細書があれば、その月の勤務時間数の確認もタイムカードと付き合わせてできるので、残業代や給与が適切に支払われていない等、速やかに指導に入ってくれると思います。
労基署や税務署に行政指導に入ってもらうことを望むかどうかは、小瓶主様の考え次第です。ただ、行政指導や調査が入った場合は絶対揉めることになるので、後味が悪くなります。その点は、腹をくくって上手く立ち回る必要があります。穏便に何もせず話のネタにしてしまって、他のアルバイト先を探すのも、世渡りの一つの方法だと思います。
個人的に見ても、給与の支払いの遅延や給与明細書を発行しないのは、相当悪質です。ただ、タイムカードの件については書き換えまでには至らなくても、時間の切り捨て（サービス残業）はよくある事です。中小零細企業・個人経営であれば、法律の改正を知っている、知らないに関係無く未だによくある事です。どこに行ってもその部分だけは余りつつき過ぎると、ぎくしゃくしてしまいます。
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